'미국 고등학생이 피타고라스 정리의 새로운 증명을 발견' 증명

제목은 증명이라고 하였지만, 신뢰성 높은 추측이라고밖에 할 수 없겠습니다. 그 이유는 아직 구체적인 방법이 공개되지 않았기 때문에...

대신 기사의 사진을 바탕으로 외국 유튜버가 추측한 것이 있어서 가져왔습니다.

아래 링크는 그 외국 유튜버의 추측을 우리나라 유튜버가 번역한 영상입니다.

외국 유튜버는 이 언론 보도 사진을 보고 학생들이 사인법칙과 무한등비급수(둘 다 고등학교 수학 과정입니다)를 이용해 증명했을 거라 추측합니다.

(귀찮아서 그런지 직각표시는 안했지만 지금부터 직각삼각형처럼 보이는 모든 삼각형은 직각삼각형이라고 합니다)

우선, 사인법칙은 sin(a) = 높이/빗변이므로, 위 사진에서

sinα = a/c이고,

sinβ = b/c입니다.

같은 삼각형을 옆으로 하나 더 붙였습니다.

2배로 커진 삼각형은 이등변삼각형이 되고 각 2α의 대변의 길이는 2a이 되며, 각 β의 대변의 길이는 c가 됩니다.

따라서 새로운 삼각형에서 사인법칙을 적용하면 위 식과 같은 식이 도출됩니다.

이 식에서 sinβ = b/c를 치환하고 정리하면

c²= 2ab / sin2α

라는 식이 나오게 됩니다. 이 식을 잘 기억해 두시길 바랍니다.

고등학생들은 여기에서 아주 창의적인 도형을 하나 만들어냈는데, 스스로 '와플콘'이라는 이름으로 불렀다고 합니다.

이 '와플콘'은 직각삼각형임을 간단하게 보일 수 있는데, 그것은 왼쪽 꼭지점의 α+β라는 각의 크기가 90도이기 때문입니다.

따라서, 이 커다란 직각삼각형에서 2α에 대한 식을 하나 더 도출할 수 있습니다.

sin2α = u / v

따라서, u와 v의 길이를 구할 수만 있다면 sin2α의 값을 다시 구할 수 있겠죠?

여기서부터는 도형의 닮음비를 이용한 무한등비수열의 합을 구하는 과정입니다. 안쪽의 삼각형 전부가 각 α, 각 β, 90도로 이루어진 직각삼각형이므로 쉽게 각각의 길이를 구할 수 있습니다. 과정은 생략하고, u와 v의 값을 보겠습니다.

u = 2abc / (b²-a²)

v = c(a²+b²) / (b²-a²)

=> u / v = 2abc / c(a²+b²)

위에서 sin2α = u / v였죠?

따라서 

sin2α = u / v = 2ab / a²+b² 입니다.

그런데 아까 봤던 식에서

라고 했습니다. 이 식을 sin2α에 대해 정리하면

sin2α = 2ab / c² 입니다.

따라서

sin2α = 2ab / a²+b² = 2ab / c²

이고, a²+b² = c² 이 도출됩니다. 

Q) 무한등비급수가 발산하면 어떡하느냐?

A) 당연히 수렴할 때만 가능한데, 수렴조건은 b>a이므로 b>a인 직각삼각형 일반에 대해 모두 성립합니다.

Q) 그렇다면 b=a, 즉 직각이등변삼각형일 때는?

A) 직각이등변삼각형일 때에는 와플콘까지 갈 것도 없이 원래 삼각형을 2배로 늘린 삼각형에 닮음조건을 쓰면 쉽게 구할 수 있습니다.

a:c = c:2a가 되어, c² = 2a² 즉 a² + a² = c² 임을 쉽게 보일 수 있습니다.