역사상 가장 오랫동안 풀리지 않았던 수학 난제

10위. 모듈성 정리

모듈성의 정리란, 타원의 곡선과 고전 모듈성 정리와의 관계에 대한 정리로, 1956년, 유타카 타니야마가 제기한 추론이다. 무리수가 유리 집합 위의 타원 곡선이면, 적당한 자연수 N과 그에 대응되는 고전 모듈 곡선과 거기에서 무리수로 가는 정수 계수가 존재한다는 추론이다.

이것은 모든 수학 분야와 상이적인 연관이 있으리라고 생각되는 혁신적인 정리라서, 20세기 말까지 이것을 해결하기 위한 수학자들의 노력이 끊이지 않았다. 결국 1995년에 앤드류 와일즈가 3위에 나올 '페르마의 마지막 정리'의 증명과 더불어 한꺼번에 증명하였다.
 

이 문제가 최초로 제기되고 나서 증명되기까지 39년이 걸렸다.

9위. 힐베르트 13번 문제

힐베르트의 문제들(20세기에 풀어야할 가장 중요한 문제로 1900년에 힐베르트가 제안한 것들) 중에서 13번 문제는, 임의의 7차 방정식을 2변수 함수로 풀어내라는 문제이다. 일반적으로 방정식의 차수가 5차 이상으로 넘어가면, 방정식의 근의 공식이 없다는 사실이 밝혀졌다.

5차 방정식이 근의 공식이 따로 없다는 사실은 이미 증명되었고, 6차 방정식도 근의 공식이 없다는 사실 또한 증명되었다. 그러나 7차 방정식에서도 근의 공식이 없는지 오랫동안 증명되지 않았다. 이것을 1957년 블라디미르 아르놀트(Vladimir Arnold)가 증명하였다. 

이 문제가 최초로 제기되고 나서 증명되기 까지 57년이 걸렸다

8위. 힐베르트 10번 문제 

이번엔 힐베르트 문제 중 10번 문제이다. 이 문제는 임의로 주어진 디오판토스의 방정식이 정수해를 갖는지 여부를 알 수 있는 판별식을 제시하라는 내용이다. 1970년에 유리 마티야세비치(Yuri Matiyasevich)에 의해 그런 알고리즘은 만들어질 수 없다는 것을 증명하였다.

이 문제가 최초로 제기되고 나서 증명되기까지 70년이 걸렸다.

7위. 푸앵카레 추측

푸앵카레 추측이란, 앙리 푸앵카레가 1904년에 최초로 제기한 추측으로, 3차원 상의 표면에서 구면의 연결이 단일연결인가 아닌가에 대한 추측이다. 

이 문제는 위상기하학 분야의 난제로, 밀레니엄 문제(수학계의 7가지 대표 난제 중 하나)이기도 하다. 이 문제가 등장하게 된 배경은 우주의 구조에 관한 사고에서 비롯되었다.

이 문제는 고도의 사고력과 연산 능력을 필요로 하는 난제이기 때문에 많은 수학자들이 해결하기를 꺼려했다. 결국 이 문제는 한 수학 재단에서 밀레니엄 문제로 선정하여 해결하는 이에게 100만 달러라는 거금을 수상하기로 한다.

2002년, 그리고리 페렐만(Grigori Perelman)이라는 수학자가 인터넷에 단 6장의 논문으로 이 문제의 증명을 게재하였다. 4년에 걸쳐 수학자들이 이 문제를 검토하였고, 오류가 없다는 것이 알려지면서 푸앵카레 추측은 해결되었다.

이 추측이 최초로 제기되고 나서 증명되기까지 98년이라는 시간이 걸렸다.

6위. 4색문제 

4색문제란, 평면을 나누어 그 조각들을 색칠한다고 할 때, 4가지 색만 있으면 이웃한 조각들의 색이 중복되지 않는다는 추측이다. 이 추측이 등장하게 된 배경은, 지도에서 나누어진 지역을 구분하기 위해 색을 다르게 칠하려면 최소 몇 가지 색상이 있어야 하는가에 대한 의문에서 시작되었다.

프랜시스 구드리(Francis Guthrie)라는 수학자가 처음으로 제기한 문제로, 그는 영국 지역을 구분하기 위해 필요한 최소한의 색이 4가지라는 추측을 했다. 그의 능력으로는 이 문제를 증명하기 힘들어서, 그의 스승인 드모르간에게 가서 이 추측에 대해 수학적으로 증명할 수 있는지 문의하였다.

그러나 그는 이 문제를 해결하는 건 결코 쉬운 일이 아니라는 답변을 했다. 경우의 수가 무한대에 가깝기 때문이다. 

많은 수학자들이 이 문제를 해결하려는 과정에서, 분할된 조각을 그래프로 단순화하는 데 성공하였지만, 여전히 경우의 수가 매우 많아서, 결국 이 문제는 케네스 아펠(Kenneth Appel)과 볼프강 하켄(Wolfgang Haken)이 1977년 컴퓨터를 이용하여 증명했다.

이 문제가 최초로 제기되고 나서 증명하기 까지 125년이라는 시간이 걸렸다.

5위. 삼체 문제 

삼체 문제란, 3차원에서 3개의 물체가 중력에 묶여 같은 패턴으로 중심을 회전할 수 있는가에 대한 문제로, 수리물리학 분야의 난제이다. 1687년, 아이작 뉴턴(Isaac Newton)이 고전역학을 완성하면서 제기한 문제로, 지구, 태양, 달의 운동에 관한 물리적 법칙을 설명하기 위한 과정에서 등장하였다.

이 문제는 수학과 물리학을 통틀어 가장 어려운 문제 중 하나로, 조제프루이 라그랑주(Joseph Louis Lagrange) 등의 수학자들에 의해 특수한 경우의 해의 일부가 밝혀졌다. 라그랑주가 구한 특수해는 3개 물체가 모체로 부터 각각 60도에 위치한 곳이다. 실제로 이것은, 토성의 위성인 테티스와 헬레네, 텔레스토의 궤도가 일치한다는 것이 관측됨으로써 가능하다는 것이 밝혀졌다.

그러나 수학자들은 이러한 특수해 말고 일반적인 해를 구하는 방법에 대해 모색하고 있었다. 이것에 대한 해답을 얻기 위해 많은 수학자들과 물리학자들이 고민하였으나 결국, 이것의 일반해는 구할 수 없다는 것이 1890년 앙리 푸앵카레에 의해 증명되었다. 

이 문제가 최초로 제기되고나서 증명되기까지 203년이라는 시간이 걸렸다.

4위. 키스 문제 

3차원에서, 키스 문제란, 주어진 구(球)와 그 크기가 같은 구가 최대 몇 개까지 접촉할 수 있는지에 대한 문제이다. 일단 여기서 키스는 애정 행위와는 관련없다.

3차원에서의 키스 문제는 1694년 아이작 뉴턴에 의해 처음으로 제기되었다. 그는 최대 12개의 구가 중심의 구와 접촉할 수 있다고 믿었다. 그러나 다른 수학자 데이비드 그레고리(David Gregory)는 뉴턴의 주장에 맞서 최대 13개의 구가 접촉할 수 있다고 주장하였다.

물론 둘 다 수학적인 증명이 없는 불확실한 주장이었다. 이를 증명하는 것은 매우 까다로웠기 때문이다. 그렇다고 실제로 구 모형을 이용하여 증명하는 것도 불가능했다. 당시엔 완벽하게 구모형을 만드는 게 매우 어려웠기 때문이다. 두 수학자가 팽배하게 맞섰지만 결국 둘 다 확실한 증명을 해내지 못했고, 1953년에서야 제대로 된 증명이 나왔다.
 

이 문제가 최초로 제기되고 나서 증명되기까지 259년이라는 시간이 걸렸다.

3위. 페르마의 마지막 정리 

페르마의 마지막 정리란, 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)가 1637년에 제기한 추측으로, 미지수 x, y, z가 0이 아닌 정수이고, n이 2보다 큰 자연수 일때, xn+yn=zn 을 만족하는 경우가 없다는, 수학계 사상 최고난이도의 난제이다. 이것은 중학교 이상의 일반인이라면 누구나 이해할 수 있는 쉬운 지문이지만, 400여 년 간 수많은 우수한 두뇌의 소유자들이 도전하였음에도 해결되지 않았던 수학계 최대의 난제였다.

페르마는 자신의 동료 수학자들과 서로의 능력을 경쟁하는 일에 재미를 느꼈다. 그들이 서로 자신이 만든갖가지 문제를 편지로 보내어 풀어보게끔 하던 중, 페르마가 이러한 문제를 만들어낸 것이다.

그는 이에 대한 증명을 쓰지 않은 채 세상을 떠났는데 그 후에 그의 아들이 그가 여태까지 기록한 수학 발견을 정리하여 책으로 출간하였고, 여기에서 이 문제가 세상에 알려지게 되었다.

문제 자체는 매우 간단하였지만, 수많은 수학자들이 증명하는 데 실패하고, 결국 1995년 영국의 앤드류 와일즈(Andrew Wiles)가 현대 수학을 총동원하여 증명했다. 이 과정에서는 10위의 '모듈성 정리'의 증명이 진행되었고, 그와 동시에 페르마의 마지막 정리 증명에 도움이 되었다.

그것을 정리한 논문은 pdf 파일로 109쪽에 달하며, 압축한 파일 용량이 9.4메가바이트이다. 그가 작성한 논문은 현대 수학의 결정체라고 불릴 정도로 온갖 현대 수학 요소가 들어가있다.

최초로 문제가 제기되고나서 증명되기까지 358년이라는 시간이 걸렸다.

2위. 케플러의 추측

케플러의 추측이란, 구를 가장 밀도 높게 쌓는 방법은 면심 입방 격자(위 gif 파일 대로 쌓는 방법) 또는 육방 최밀 격자 구조라는 추측으로, 키스 문제와는 차원이 다른 난제이다. 

1611년, 요하네스 케플러(Johannes Kepler)가 처음으로 제기한 문제로, 이 문제가 등장하게 된 배경은, 영국의 항해가인 랠리 월터가 케플러에게 직사각형의 상자안에 과일을 최대한 많이 넣으려면 어떻게 쌓아야 하는지 문의한 것에서 시작되었다.

이 문제는 구의 배열에 따른 경우의 수와 각 배열에 따른 많은 연산이 필요하다는 점에서 극악의 난이도를 가지고 있다. 물론 이 경우의 수를 모두 따질 순 없기에 400년 동안 많은 우수한 수학자들이 온갖 방법을 동원하여 이 문제를 해결하려 하였으나 모두 실패하였다.

그나마 가장 근접한 증명은, 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)가 내놓은 증명으로, 규칙적 격자 배열일 경우 이 추측이 성립한다는 결론이 나온다. 이것은 부분적으로, 경우의 수를 따지지 않고 해결한 최초의 증명이다. 그러나 그도 케플러가 제기한 두 방식의 격자 구조에 대한 증명에는 혀를 내두를 정도였다.

400년 동안 많은 수학자들이 매달렸지만 케플러의 추측은 도저히 해결될 기미가 보이지 않았다. 그러자 컴퓨터의 힘을 빌려 증명해야한다는 목소리가 높아졌고, 결국 1998년 토머스 헤일스(Thomas Hales)가 컴퓨터로 일정 범위 내의 경우의 수를 모두 따져서 증명하였다. 이것을 증명이 담긴 논문 쪽수만 무려 250쪽이며 용량도 3기가바이트나 된다.

이 문제가 최초로 제기되고나서 증명되기까지는 무려 387년이나 걸렸다.

1위. 3대 작도 불능 문제

3대 작도 불능 문제란, 기원전 425년에 히피아스가 제기한 문제로, 오직 컴퍼스와 눈금 없는 자만을 이용하여 다음 3가지를 작도하라는 문제이다.

1.주어진 각을 3등분 하라.
2.주어진 정육면체의 2배 부피를 가지는 정육면체의 한 변의 길이를 작도하라.
3. 주어진 원과 같은 넓이를 가지는 정사각형을 작도하라.

이 3 문제들은 고대 그리스 시대부터 제기된 문제로, 무려 2000년 동안이나 풀리지 않던 문제이다. 사람들이 이 문제를 증명을 하려하지 않고 무모하게 직접 작도를 시도하여 가능함을 보이려고 했기 때문에 2000년 이라는 긴 세월 동안이나 풀리지 않았다.

위 3가지 항목은 각각 1837년, 1837년, 1882년에 풀렸으며, 세 문제 모두 작도가 불가능하다는 결론이 나왔다. 유리수에 제곱근과 사칙연산을 유한번 적용하여 얻어지는 수가 곧 작도가 가능한 수인데, 1,2번 항목은 그 범위를 넘는다. 그리고 3번 문제는 π가 초월수라는 것이 증명되면서 자동적으로 작도 불가능한 문제라는 것이 밝혀졌다.

이로써 여태껏 무턱대고 작도를 시도한 수많은 사람들의 노력이 헛수고가 되었으나, 현재까지도 많은 사람들이 저 3가지 중 하나를 작도하는 데 성공했다는 주장을 하고 있어 수학계는 골머리를 앓는 중이다.

심지어 이런 주장을 하는 사람들을 두고 삼등분가(trisector)라는 말이 나왔을 정도이다.

현대 수학계에선, 이 3가지가 작도 불가능하다는 것이 더욱 확실하게 증명되었다. 물론 이것은 '작도'의 정의를 엄격하게 적용하고 증명한 것이다.

이 문제들이 최초로 제기되고 증명되기까지 각각 2262년, 2262년, 2307년이나 걸렸다.

뭔말인지 모르는게 정상