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문돌이 도박사의오류 시원하게 이해시켜주실 분..

nH6s3Imd 24 744 0

동전던지기 같은 독립시행인 경우

앞에서 앞면이 여러번 나왔건 뒷면이 여러번 나왔건 이번에 던질 동전의 앞면이나 뒷면이 나올 확률은 여전히 50%지 않습니까?


그런데 도박사의 오류가 어느 특정 면이 연속해서 여러번 나올 확률이 낮다는 생각에서 기인해서

앞면이 연속 10번 나온 상태면 다음은 뒷면일거야 라고 뒷면에 베팅하는 거고.

그러나 사실은 알고보면 11번째에도 여전히 50%확률이니 저 논리는 옳지 못하다는게 도박사의 오류인데


동전 앞면만 11번 연속 나올 확률이 1/2048인것도 이해가 되고

10번 연속 앞면만 나왔더라도 독립시행이니 11번째 역시 2047/2048이 아닌 50%라고 하는 것도 이해가 되는데


이 둘을 합치려니 이해가 잘 안되서요..


독립시행은 독립시행이니 100번이던 1000번이던 여전히 50% 확률이니 앞에서 99번 한쪽면이 나왔던 999번 한쪽면이 나왔던

그걸 이유로 다른쪽 면이 나올거라고 생각하는건 오류라는 설명은 많이 봤는데


그렇다 하더라도 연속으로 나올 확률이란게 분명 따로 있는거 아니에요? 

왜냐면 확률이 50%짜리니까 아무리 독립시행이라도 기본 확률이 50%라는 명제가 있는데 한쪽만 나오기는 희박한 거 아닙니까..?


예를들어 게임에서 50%주문서가 연속으로 5~6번 실패했더라는 푸념은 수도없지 봤지만

1000번연속 실패, 하물며 1000번까지도 아니고, 50번연속 실패했더라는 푸념같은건 본 적이 없습니다. 

마찬가지로 어떤 카지노에서 역사상 홀짝게임이 한쪽만 1000번 연속 나온 적 있더라는 기사같은 것도 본 적이 없구요.

애초에 그렇게 나오면 확률이 50%가 아닌 확률이 높은거겠죠.


그럼 다시 원래 질문으로 돌아와서

앞에서 몇번 연속으로 앞면이 나왔던간에 다음번은 독립시행으로 여전히 50%확률이니 계속 앞면에 베팅해도 그저 반반일 뿐이야라고

주장하는 분들의 경우에

"혹시나 정말 조작없이 확률이 50%인 홀짝게임에서

현재 999번 연속 홀이 나온 경우가 있다고 치면 이 순간에 1000번째에 짝에 베팅을 안하고 베길 수 있다는 건가요??"


이 부분이 궁금해요.


 

24 Comments
emi1zX8C 2021.09.21 08:48  
그 앞에 전제가 절대치임
각각은 독립시행이라 여러개를 묶어서 계산할 수 없음
니가 지금 여러개를 묶는 현상에 현혹되서 그럼
니가 지금 999번을 던졌고 홀이 999번 나왔으면 짝이 그 다음에 나올 확률을 전체로 묶어서 계산하려 하면
당연히 짝이 나올 확률이 높겠지
근데 지금 니가 999번을 던졌음 - 여기서 이미 999번 던진거는 독립적으로 분리된거임
다음번에 니가 던질 거는 1번 던지는거랑 다를게 없어 독립시행이니까
독립시행이라는건 그런 의미임

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nH6s3Imd 2021.09.21 09:09  
[@emi1zX8C] 독립시행은 묶어서 생각하는 것 자체가 아니라는 말씀이신 것 같아요. 어렴풋이 이해는 되는데
여전히 경우의 수라는 부분에 대해서 생각하다보면 시원하게 해결이 안돼요 죄송합니다 ㅡㅜ

제가 7번째 문단에 적어놓은 50%확률의 게임 주문서와 카지노 이야기 예로 50번,1000번 연속 한쪽만 나오는 경우가 나오지 않은 이유는
확률이 50%라서 횟수를 무한히 반복하면 할수록 50%에 수렴하는 효과가 있기 때문에 그런거 아닌가요?

근데 제가 댓글같은걸로 드문드문 봐온 독립시행에 관한 설명들을 보면
횟수를 반복할수록 표기된 기본 확률에 수렴한다는 명제를 부정하는 것처럼 느껴져서
제가 잘 이해를 못하는게 아닌가 싶습니다.

그래서 던져놓은 물음이 마지막 문단이거든요. 혹시 여기에 대해서 답변을 좀 더 해주실 수 있으신가요?

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QMfanOgL 2021.09.21 08:50  
설명은 못하겠지만 누구신지는 알겠다ㅋㅋ

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fi1jvSGx 2021.09.21 08:55  
2048번 중에
OOO OOO OOO OX의 확률과 OOO OOO OOO OO의 확률은 동일하게 1/2048임

연속으로 나올 확률과 연속으로 나오지 않는 확률이라는게 따로 있다고 생각하면 이해 못함

그냥 전이나 드셈

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nH6s3Imd 2021.09.21 09:11  
[@fi1jvSGx] 죄송합니다. 저도 제가 갑갑하군요 ㅋㅋ;;
dLrzd7cw 2021.09.21 09:24  
1/100의 당첨률을 가진 뽑기를 100번 뽑는다면 1 - (99/100)^100 = 0.63396765873이 되므로 대략 63.3%의 확률로 1번은 뽑힐 거라 기대할 수 있다. 즉 도박사의 오류 이야기는 도박을 시도할 때, 각 시도의 확률이 이전의 결과와 무관하다는 의미일 뿐, 시도 횟수가 전체 도박의 결과에 영향을 미치지 않는다는 의미는 아니다. 도박사의 오류에서는 "100번째 뽑기", 즉 1회 시행의 확률을 묻는 것이고, 위의 질문은 100번을 뽑을 때, 그 결과의 확률을 묻는 것이다. 다시 말하자면 언젠가 한 번은 나온다와 다음에는 나온다.의 차이라고 할 수 있다.

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nH6s3Imd 2021.09.21 09:37  
[@dLrzd7cw] 이게 제가 처음에 이해했던 바인데..
그럼 결국엔 동전던지기에 베팅해야 하는 상황에 놓여있다고 했을 때
1번에 올인하는 것이 아닌 연속해서 자금관리를 통해 베팅할 수 있으며 1번만 맞춰도 큰 이득인 게임일 경우

10번 연속 앞면이 나온 걸 지켜본 상황에서 11번째부터는 뒷면에 베팅한다는게 오류가 아닌 합리적인 선택이 되는게 맞지 않나요?
11번째는 100%나올거야 라는 마인드가 아니라 지금부터는 계속 뒷면에 베팅하는게 나한테 유리할거야 라고 생각하는게 맞는 것 아닌가요?

근데 독립시행이라 50%니 전혀 상관없다는 설명을 주로 봐서 제가 많이 헷갈린거거든요.

그럼 그런 설명을 해주신 분들은 11번째 단 1번만 베팅할 수 있다고 가정할 경우를 생각하고 설명해서 그랬던 것일까요?
emi1zX8C 2021.09.21 09:49  
[@nH6s3Imd] 무슨말인지 이해함
아니 그거 실제로 있는 베팅법이야 마진베팅이라고
파워볼 사다리 이런거 50%짜리 확률이니까
금액을 계속 2배로 늘려가면서 베팅하면
마지막 한 번만 맞으면 무조건 이득임.

이건 이거고 네가 말한 경우는
이미 그 순간 베팅을 할 때 전의 결과들은 전부 상관이 없어진거야
독립시행이라는게 그런 뜻이니까 - 과거의 결과와 상관없는 확률
그래서 설명으로는 50%인거지

예시를 바꿔보자
홀이 99%고 짝이 1%야
99번 던졌는데 홀이 99번 나왔어
그럼 짝이 1%니까 다음번엔 짝이 나오겠지? 라고 생각할거야?
백번 홀이라고 생각하지 않겠어?
이게 확률이 바뀌면 네가 말한 예제랑 뭐가 달라
착시현상이야 50%이고 사람이 보고 있으니
수학상으로는 철저하게 반반임 그냥.
nH6s3Imd 2021.09.21 10:12  
[@emi1zX8C] 들어주신 홀99% 예시에서 100번째에는 말씀하신대로 저는 홀이라고 예상할 것 같습니다.
중첩된게 아니고 독립시행이니까 이미 99번 홀이 나왔다고 해서 100번째가 100% 짝이 아니라는 것은 알고 있으니까요.

근데 제가 결정적으로 헷갈리는 부분은 기본적으로 확률이란게 주어졌는데 횟수를 무한히 반복할수록 그 확률에 수렴해가는게 맞지 않냐는거거든요.

들어주신 예인 99%홀인 경우에서 99999번 던졌는데 어처구니 없이 기적처럼 99999번이 연속 다 홀이였다면?
저는 그 다음은 짝이라고 예상할 것 같다는게 본문에서도 던진 같은 의문이거든요.

이 부분이 설명되야 명쾌하게 끝날 것 같아요..

연속으로 몇번 시행했는지를 세고 말고는 물론 사람의 관찰로 생기는 현상이지만
어쨌든 그걸 빼더라도 50이면 50 99면 99라는 엄연히 수학적으로 주어진 확률이 있는데
이게 완전히 무시되는 느낌이라 제가 헷갈리거든요..
dLrzd7cw 2021.09.21 10:17  
[@nH6s3Imd] 기적처럼 99999번 홀이면 100000번째는 99%의 확률로 홀임
기적이라는 조건을 붙이면 수학은 의미가 없음
nH6s3Imd 2021.09.21 10:40  
[@dLrzd7cw] 기적은 그냥 워낙 희박함을 표현하기 위해 쓴 말이고

99%확률이 홀인 게임이 99999번 연속 홀일 확률이란걸 정확히 수학적으로 구할 수 있고
그게 매우 희박하지 않습니까..100000번 연속은 더 희박할거고

99%라는 것 자체도 수학인데 이 확률은 왜 완전히 무시되는 뉘앙스인건지 그게 이해가 안가서요..
1z2AUNcE 2021.09.21 10:24  
확률로 수렴하는건 전체를 다 봤을때고
현시점에서 시행하는 사건은 나눠서 봐야함

그걸 나눠서 볼수 있으니까 독립 시행인거고

조건부 확률도 생각하면 좋을텐데,
100번 다 앞면이 나올 확률은 1/2^100이지만
99번 앞면이 나왔을때, 그 다음 앞면이 나올 확률은 독립시행이므로 1/2임

동전을 던지기전에 생각
"100번 다 앞면이 나올 확률은 1/2^100"

동전을 99번 던진 후 생각
"100번'째' 동전이 앞면ㅇ 나올 확률은 1/2"

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1z2AUNcE 2021.09.21 10:24  
[@1z2AUNcE] 그리고 확률은 어디까지나 확률이지
어떤 힘을 가진게 아님
nH6s3Imd 2021.09.21 10:57  
[@1z2AUNcE] '특정 n번째에서의 시행확률은 50%로 동일하다 그게 10번째든 100번째든 '
이건 정확히 이해를 했거든요 이건 애시당초 처음부터 이해했고..

그러나 어쨌든 연속해서 카운팅을 하면 확률로 수렴하는 현상도 나오는 거 아닌가요?
"50% 확률로 홀짝인 게임에서 1000번 연속 홀이 나올 확률은 희박하다 "
라는 문장은 완전히 틀린걸로 봐야하나요..? 아니잖아요. 수학적으로도 매우 희박하기 때문에
역사상 그런 일은 없었고..

근데 독립시행 설명을 보다보면 그게 왜 희박하냐? 늘 50%인데 라는 느낌이라서 이게 답답하거든요.
앞에서 앞면이 연속해서 여러번 나온 사건들로 인해 정확히 그 이후 n번째에서 뒷면이 나올 확률이 높아졌다를 주장하는게 아니라
앞으로 단 한번이라도 뒷면이 등장할 확률자체가 점점 높아지고 있는게 맞지 않냐고 물어보는거거든요.
확률에 수렴하는거니까.

결국 도박사의 오류에서 도박사가 앞면이10번 연속으로 나온 상태에서
한번만이라도 등장할 뒷면을 위해서 11번째에도 12번째에도 13번째에도 뒷면에 베팅하는건 앞면에 베팅하는거보다
합리적인것 아닌가요?
dLrzd7cw 2021.09.21 11:24  
[@nH6s3Imd] 도박사의 오류라는 건 말 그대로 바로 다음 수행에서 나올 확률이 50:50이란 거고
전체 수행에서 50%에 수렴하는 건 대상이 무한일 경우에 해당하는 것임
99999번 홀이 나왔어도 다음에 또 99999번 홀이 나올 수 있고
그 다음이 돼서야 짝 1번 나오고 또 홀이 99999번 나와도
무한으로 봤을 때 50:50으로 나오면 50%인 게 확률임
nH6s3Imd 2021.09.21 11:51  
[@dLrzd7cw] 홀이 99999번 나오고 짝 1번 나오고 다시 홀이 99999번 나오더라도 뒤에 짝이 연속으로 20만번쯤 나오면 결국 50%가 되니까
50% 확률이란 명제가 성립한다는 건 이해는 합니다만

아닌말로 50%확률인 게임에서 홀이 연속으로 99999번 나온 뒤 짝이 1번 나오고 다시 홀이 99999번 나오고 그 뒤에
짝이 연속으로 20만번이 나와서 50% 밸런스가 맞춰질 확률 또한 수학적으로 구할 수 있지 않습니까?
이건 진짜 불가능이라 표현해도 무방할 정도의 수치일거고요.

확률이 50%인 게임에 대해서 각각의 시나리오들이 등장할 확률 또한 구할 수 있을텐데
그럼 높은 확률에 거는게 합리적인게 되는게 맞는 것 아닌가요?

질문을 다시 바꿔서 명제에 대해 베팅을 한다고 해봅시다.

1.지금부터 동전던지기를 10번 할건데 10번째에 뒷면이 나오면 돈을 드립니다.
2.지금부터 동전던지기를 10번 할건데 10번 연속 다 뒷면이 나오면 돈을 드립니다.
라는 문장이 있을 때 1번에 베팅하는게 합리적인게 아니냐는 거거든요.

1번은 앞에 순서가 어떻게 되던 10번째에만 뒷면이 나오면 되니 50%확률일거고
2번은 10번이 다 연속 뒷면이 나와야 돈을 따는거니까 1/1024 아닌가요?

말씀하시는는대로라면 1번을 고르나 2번을 고르나 돈을 딸 확률은 같다는게 되는건가요?
dLrzd7cw 2021.09.21 11:59  
[@nH6s3Imd] 1번부터 10번하면 1/1024고요
9번이 앞면이면 10번째는 50%입니다
nH6s3Imd 2021.09.21 12:11  
[@dLrzd7cw] 앞뒤앞앞뒤뒤앞~~
뒤뒤뒤뒤앞뒤앞~~
앞앞뒤앞뒤뒤뒤~~~

뭐 어떤식으로든 간에 동전던지기 10번을 시행하면 각 시나리오에 대한 확률은 다 1/1024인건 알겠는데
핀트는 연속으로 하나만 나올 확률인데

하나만 나오려면 앞앞앞~~앞 이나 뒤뒤뒤뒤~~~뒤 니까
연속으로 한면만 나올 경우의 수 vs 나머지로 치면
2/1024 VS 1022/1024 아닌가요?
베팅해야 한다면 후자에 하는게 합리적인 거 아닌가요?

횟수가 많으면 많을수록 연속으로 한면만 나온 경우를 봐버린 이상 확률의 희박함을 아니까
다른면이 나오겠구나에 베팅하는게 합리적이 되는게 맞지 않나요?
nH6s3Imd 2021.09.21 12:13  
[@dLrzd7cw] 물론 10번째 딱 한번만 베팅할거면

앞 10번 연속, 뒤10번연속 VS 앞9번연속 뒤한번 , 뒤9번연속 앞한번
은 똑같이 2/1024 VS 2/1024니까 그게 그거지만

핵심은 딱 한번이 아닌 연속으로 나온 걸 본 이상 그 이후의 베팅을 앞으로 어떻게 할 것이냐에 대해 묻는건데
반대편에 베팅하는게 맞지않아요?
dLrzd7cw 2021.09.21 12:23  
[@dLrzd7cw] 횟수와 상관없이 변화량의 분모가 무한이기 때문에 수학적으로 개별 확률은 50%에 수렴합니다
nH6s3Imd 2021.09.21 12:39  
[@dLrzd7cw] 그러네요 계속 말하다보니 어디서 헷갈렸는지 이제 알겠네요.

10번 내내 한쪽면만 나올 확률 vs 10번 내 한번이라도 다른면이 섞여 나올 확률
에 베팅할거면 당연히 후자에 베팅하는게 맞고

이미 앞서 10번이던 100번이던 어떤 상황이 다 일어난 순간에는
n+1번째 시나리오를 써보니까 그냥 계속 50%가 맞는데

설명주신분들의 문장이 이해가 됐음에도 계속 어디선가 핀트가 어긋났던건

n번의 횟수가 진행이 안됐을때랑
n번의 횟수가 진행이 되고나서 그 후의 상황이랑 동일선상에서 놓고 봤기 때문에 생긴 오류였군요.
rzuhFGdO 2021.09.21 19:34  
음 똥싸러가야징

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tTPHaWuV 2021.09.22 10:53  
이미 일어난 일에 대한 확률을 왜 계산하고 있지

럭키포인트 7,019 개이득

hxlQZDnu 2021.09.22 12:01  
[@tTPHaWuV] 그러게요. 이제 답답한거 끝났음 굿
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